1. Um engenheiro civil está estudando a altura das colunas em um edifício. A altura Y (em metros) é uniformemente distribuída entre 3 e 7 metros.
    (a) Qual é a probabilidade de que a altura esteja entre 4 m e 6 m ?
    (b) Calcule o valor esperado (média) da altura.
    (c) Calcule a variância da altura.

Passo 1

O enunciado diz que a altura Y de colunas é uma variável contínua uniformemente distribuída entre 3 e 7 metros. Precisamos usar as propriedades da distribuição uniforme contínua: densidade, probabilidade em um intervalo, valor esperado e variância.

Passo 2

Para calcular a probabilidade \Pr(4\le Y\le6), lembramos que na uniforme em [a,b] a densidade é
f(y)=\frac{1}{b-a}
para y\in[a,b]. Logo,
\Pr(4\le Y\le6) =\int_{4}^{6}f(y)\,dy =\int_{4}^{6}\frac{1}{7-3}\,dy =\frac{6-4}{4} =\frac{2}{4} =\tfrac12.

Passo 3

O valor esperado de uma variável Y\sim U(a,b) é dado por
\mathbb{E}[Y]=\frac{a+b}{2}.
Aqui a=3 e b=7, então
\mathbb{E}[Y]=\frac{3+7}{2}=5.

Passo 4

A variância de Y\sim U(a,b) é
\mathrm{Var}(Y)=\frac{(b-a)^2}{12}.
Substituindo a=3 e b=7,
\mathrm{Var}(Y)=\frac{(7-3)^2}{12} =\frac{16}{12} =\frac{4}{3}.

Resposta

(a) \tfrac12
(b) 5
(c) \tfrac{4}{3}

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