(6) Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites:

Passo 1

Estamos calculando o limite limxto01-cos(x^2)x^2, que é um problema de limites de função envolvendo cosseno e forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Ao substituir x=0 diretamente, o numerador fica 1-cos(0)=0 e o denominador fica 0^2=0, caracterizando a indeterminação 0/0. Podemos então usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se limxto af(x)=0 e limxto ag(x)=0, então
limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x),
Desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital ao nosso caso, temos:
Derivada do numerador:
ddxl(1-cos(x^2)r)=sin(x^2)cdot2x
Derivada do denominador:
ddx(x^2)=2x

Passo 4

Logo o limite transforma-se em
limxto0sin(x^2)cdot2x2x=limxto0sin(x^2)

Passo 5

Como sin(x^2)tosin(0)=0 quando xto0, o limite vale 0.

Resposta

0

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