Coordenadas CilíndricasExercícios 1-10: Transforme a equação para coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação
de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do estudo das Coordenadas Cilíndricas, que é uma maneira diferente de representar pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas
para as cilíndricas
, onde:
- $ r $ é a distância do ponto até o eixo $ z $,
- $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $,
- $ z $ permanece o mesmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão das coordenadas. As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
Então, para transformar a equação
, vamos substituir
e
por essas expressões em termos de $ r $ e $ \theta $.
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Vamos distribuir o 3 no primeiro termo:
Passo 4
Podemos fatorar $ r $ nos dois primeiros termos para simplificar:
Isso já está quase na forma das coordenadas cilíndricas. Agora, podemos isolar $ z $ se quisermos, mas geralmente a equação em coordenadas cilíndricas pode manter $ z $ como está.
Passo 5
Então, a equação
em coordenadas cilíndricas fica:
Resposta
A equação
em coordenadas cilíndricas é: