Coordenadas CilíndricasExercícios 1-10: Transforme a equação para coordenadas cilíndricas:
3 x+y-4 z=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação 3x + y - 4z = 12 de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do estudo das Coordenadas Cilíndricas, que é uma maneira diferente de representar pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para as cilíndricas (r, theta, z), onde:
  • $ r $ é a distância do ponto até o eixo $ z $,
  • $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $,
  • $ z $ permanece o mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão das coordenadas. As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
Então, para transformar a equação 3x + y - 4z = 12, vamos substituir x e y por essas expressões em termos de $ r $ e $ \theta $.

Passo 3

Substituindo x e y na equação original:
3(r cos theta) + (r sin theta) - 4z = 12
Vamos distribuir o 3 no primeiro termo:
3r cos theta + r sin theta - 4z = 12

Passo 4

Podemos fatorar $ r $ nos dois primeiros termos para simplificar:
r
Isso já está quase na forma das coordenadas cilíndricas. Agora, podemos isolar $ z $ se quisermos, mas geralmente a equação em coordenadas cilíndricas pode manter $ z $ como está.

Passo 5

Então, a equação 3x + y - 4z = 12 em coordenadas cilíndricas fica:
r(3 cos theta + sin theta) - 4z = 12

Resposta

A equação 3x + y - 4z = 12 em coordenadas cilíndricas é:
r(3 cos theta + sin theta) - 4z = 12

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