Coordenadas CilíndricasExercícios 1-10: Transforme a equação para coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a equação $ y = x $ para coordenadas cilíndricas. Isso está ligado às coordenadas cilíndricas, que são um jeito diferente de representar pontos no espaço usando $ r $ (distância ao eixo $ z $), $ \theta $ (ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $ (altura). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como converter as coordenadas cartesianas ($ x, y, z $) para cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas:
Aqui, $ r $ é a distância do ponto até o eixo $ z $, $ \theta $ é o ângulo entre o raio $ r $ e o eixo $ x $, e $ z $ permanece o mesmo nas duas coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas fórmulas na equação dada $ y = x $. Substituindo $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ r $ (desde que $ r \neq 0 $):
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de $ \theta $ que satisfaz essa igualdade. Sabemos que:
Então, se $ \sin \theta = \cos \theta $, temos:
Passo 6
A equação $ \tan \theta = 1 $ é satisfeita quando $ \theta = \frac{\pi}{4} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer número inteiro. No entanto, nas coordenadas cilíndricas, geralmente consideramos $ \theta $ no intervalo $ [0, 2\pi) $, então a solução principal é:
Resposta
A equação $ y = x $ em coordenadas cilíndricas fica: