Coordenadas CilíndricasExercícios 1-10: Transforme a equação para coordenadas cilíndricas:
x^2-y^2-z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para transformar a equação x^2 - y^2 - z^2 = 1 para coordenadas cilíndricas. A gente vai usar o conteúdo de Coordenadas Cilíndricas, que é uma forma alternativa de representar pontos no espaço tridimensional. Para isso, precisamos saber como converter as coordenadas cartesianas x, y e z para r, theta e z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são feitas as conversões de coordenadas cartesianas para cilíndricas. As relações são:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
Aqui, r é a distância do ponto à origem no plano xy, theta é o ângulo que o raio r faz com o eixo x, e z permanece o mesmo.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na equação original usando essas relações. A equação dada é:
x^2 - y^2 - z^2 = 1
Substituindo x por r cos theta e y por r sin theta, temos:
(r cos theta)^2 - (r sin theta)^2 - z^2 = 1

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Calculando os quadrados:
r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta - z^2 = 1
Podemos fatorar r^2 dos dois primeiros termos:
r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) - z^2 = 1

Passo 5

Lembrando que cos^2 theta - sin^2 theta = cos(2theta), podemos escrever:
r^2 cos(2theta) - z^2 = 1

Resposta

A equação x^2 - y^2 - z^2 = 1 em coordenadas cilíndricas fica:
r^2 cos(2theta) - z^2 = 1

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