Coordenadas CilíndricasExercícios 1-10: Transforme a equação para coordenadas cilíndricas:
x^2-4 z^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para transformar a superfície dada por
x^2-4z^2+y^2=0
para coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é a mudança de variáveis
;(x,y,z)mapsto(r,theta,z)
com
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas sabemos que
x^2+y^2 = l(rcosthetar)^2 + l(rsinthetar)^2 = r^2l(cos^2theta + sin^2thetar) = r^2
Portanto, ao substituir na equação original, obtemos
x^2+y^2 - 4z^2 = r^2 - 4z^2

Passo 3

A condição x^2-4z^2+y^2=0 fica então
r^2 - 4z^2 = 0
Isso é uma equação em r e z só, e independe de theta, indicando simetria de revolução.

Passo 4

Para explicitar a relação entre r e z, isolamos r:
r^2 = 4z^2 Longrightarrow r = 2lvert zrvert
Alternativamente, podemos escrever
z = pm r2
Isso mostra que a superfície é um cone duplo (aberto para cima e para baixo).

Resposta

A equação em coordenadas cilíndricas é
r^2 - 4z^2 = 0,
ou, equivalentemente,
r = 2lvert zrvert

Exercícios relacionados