Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x 0 tan (x)2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão tan(x)2x . Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de 0 e aplicar alguns limites básicos que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de x pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de x . Ou seja:
tan(x) = sin(x)cos(x)
Então, podemos reescrever o limite original substituindo a tangente por essa expressão:
limx 0 tan(x)2x = limx 0 sin(x)cos(x)2x

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Dividir por 2x é o mesmo que multiplicar por 12x . Assim:
limx 0 sin(x)cos(x) cdot 12x = 12 cdot limx 0 sin(x)x cdot 1cos(x)

Passo 4

Vamos analisar cada parte desse limite:
  1. limx 0 sin(x)x: Esse é um limite fundamental no cálculo e é igual a 1. Isso porque, para valores de x próximos de 0, o seno de x é aproximadamente igual a x .
  2. limx 0 1cos(x): Sabemos que cos(0) = 1, e a função cosseno é contínua nesse ponto. Portanto, esse limite também é igual a 1.

Passo 5

Agora, substituindo os valores dos limites que calculamos:
12 cdot 1 cdot 1 = 12

Resposta

O limite é igual a 12 .

Exercícios relacionados