Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de 0 e aplicar alguns limites básicos que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente de
pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de
. Ou seja:
Então, podemos reescrever o limite original substituindo a tangente por essa expressão:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Assim:
Passo 4
Vamos analisar cada parte desse limite:
-
: Esse é um limite fundamental no cálculo e é igual a 1. Isso porque, para valores de próximos de 0, o seno de é aproximadamente igual a . -
: Sabemos que , e a função cosseno é contínua nesse ponto. Portanto, esse limite também é igual a 1.
Passo 5
Agora, substituindo os valores dos limites que calculamos:
Resposta
O limite é igual a
.