Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de limite e quer que eu te ajude a resolvê-lo passo a passo. O problema é calcular o seguinte limite:
Esse exercício envolve o conceito de limites, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de simplificação de expressões com raízes quadradas, especialmente a racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo quando
se aproxima de 4. Vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando enfrentamos indeterminações como
, uma técnica útil é a racionalização, que envolve multiplicar numerador e denominador pela conjugada de uma das partes da fração. Vamos começar racionalizando o numerador.
A conjugada de
é
. Vamos multiplicar numerador e denominador por essa conjugada:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador usando a fórmula
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos simplificar
fatorando:
Então, a expressão agora é:
Passo 6
Percebemos que
se aproxima de 4, então
está próximo de 0. Vamos então focar na parte do denominador
. Para simplificar essa parte, vamos racionalizar também multiplicando pelo conjugado
:
Passo 7
Simplificando o denominador usando
:
Agora, a expressão fica:
Passo 8
Observamos que
aparece tanto no numerador quanto no denominador e pode ser cancelado (desde que
, o que é válido no limite):
Agora, podemos substituir
sem obter uma indeterminação:
Resposta
O limite é: