Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x 4 raiz3 x-8-2raizx-2-raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de limite e quer que eu te ajude a resolvê-lo passo a passo. O problema é calcular o seguinte limite:
lim x 4 raiz3x - 8 - 2raizx - 2 - raiz2
Esse exercício envolve o conceito de limites, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de simplificação de expressões com raízes quadradas, especialmente a racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo quando x se aproxima de 4. Vamos substituir x = 4 na expressão para ver o que acontece:
raiz3(4) - 8 - 2raiz4 - 2 - raiz2 = raiz12 - 8 - 2raiz2 - raiz2 = raiz4 - 20 = 2 - 20 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00 . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando enfrentamos indeterminações como 00 , uma técnica útil é a racionalização, que envolve multiplicar numerador e denominador pela conjugada de uma das partes da fração. Vamos começar racionalizando o numerador.
A conjugada de raiz3x - 8 - 2 é raiz3x - 8 + 2 . Vamos multiplicar numerador e denominador por essa conjugada:
raiz3x - 8 - 2raizx - 2 - raiz2 times raiz3x - 8 + 2raiz3x - 8 + 2

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador usando a fórmula (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
(raiz3x - 8)^2 - (2)^2 = 3x - 8 - 4 = 3x - 12
Então, a expressão fica:
3x - 12(raizx - 2 - raiz2)(raiz3x - 8 + 2)

Passo 5

Podemos simplificar 3x - 12 fatorando:
3(x - 4)
Então, a expressão agora é:
3(x - 4)(raizx - 2 - raiz2)(raiz3x - 8 + 2)

Passo 6

Percebemos que x se aproxima de 4, então x - 4 está próximo de 0. Vamos então focar na parte do denominador raizx - 2 - raiz2 . Para simplificar essa parte, vamos racionalizar também multiplicando pelo conjugado raizx - 2 + raiz2 :
3(x - 4)(raizx - 2 - raiz2)(raiz3x - 8 + 2) times raizx - 2 + raiz2raizx - 2 + raiz2

Passo 7

Simplificando o denominador usando (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
(raizx - 2)^2 - (raiz2)^2 = (x - 2) - 2 = x - 4
Agora, a expressão fica:
3(x - 4)(raizx - 2 + raiz2)(x - 4)(raiz3x - 8 + 2)

Passo 8

Observamos que x - 4 aparece tanto no numerador quanto no denominador e pode ser cancelado (desde que x neq 4 , o que é válido no limite):
3(raizx - 2 + raiz2)raiz3x - 8 + 2
Agora, podemos substituir x = 4 sem obter uma indeterminação:
3(raiz4 - 2 + raiz2)raiz3(4) - 8 + 2 = 3(raiz2 + raiz2)raiz12 - 8 + 2 = 3(2raiz2)2 + 2 = 6raiz24

Resposta

O limite é:
3raiz22

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