Exercicio 1. (3 valores)
- Calcular o limite, usando a regra de L’ Hospital:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite para calcular usando a Regra de L’Hospital. A questão é:
Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em limites e técnicas para resolvê-los. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra de L’Hospital, que é super útil quando temos expressões que resultam em formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Para isso, substituímos
na expressão:
Como obtemos uma forma indeterminada 0/0, podemos usar a Regra de L’Hospital, que nos diz que:
desde que o limite da derivada exista.
Passo 3
Vamos então derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Vamos ver se ainda dá uma forma indeterminada substituindo
:
Ainda estamos com 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hospital de novo.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 6
Aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é igual a 0.