Exercicio 1. (3 valores)
  1. Calcular o limite, usando a regra de L’ Hospital:
lim x 0 x-sin xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite para calcular usando a Regra de L’Hospital. A questão é:
lim x 0 x - sin xx^2
Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em limites e técnicas para resolvê-los. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra de L’Hospital, que é super útil quando temos expressões que resultam em formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Para isso, substituímos x = 0 na expressão:
0 - sin 00^2 = 0 - 00 = 00
Como obtemos uma forma indeterminada 0/0, podemos usar a Regra de L’Hospital, que nos diz que:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite da derivada exista.

Passo 3

Vamos então derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador f(x) = x - sin x :
f'(x) = 1 - cos x
Derivada do denominador g(x) = x^2 :
g'(x) = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
limx 0 1 - cos x2x
Vamos ver se ainda dá uma forma indeterminada substituindo x = 0 :
1 - cos 02 cdot 0 = 1 - 10 = 00
Ainda estamos com 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hospital de novo.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador f'(x) = 1 - cos x :
f''(x) = sin x
Derivada do denominador g'(x) = 2x :
g''(x) = 2

Passo 6

Aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez:
limx 0 sin x2
Agora, substituímos x = 0 :
sin 02 = 02 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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