Questão 3 - Valor 3,0 pontos
Calcule integralC F d r, onde F(x, y)=(y^2+3) i+(2 x y-3 y^2) j e C é a curva parametrizada por r(t)=(t+cos (pi t2)) i+(t+sen(pi t2)) j, 0 <= t <= 1
(Sugestão:Verifique se F é conservativo.) - teorema fundam. oas int de uinha

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde
F(x,y)=(y^2+3),i+(2xy-3y^2),j
e C é dada por
r(t)=l(t+cosl(tfracpi t2r),;t+senl(tfracpi t2r)r), 0<= t<=1
O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial, sugerindo uso do teorema fundamental das integrais de linha caso F seja conservativo.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo, ou seja, se
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
onde P(x,y)=y^2+3 e Q(x,y)=2xy-3y^2. Calculando:
partial Ppartial y=2y, partial Qpartial x=2y
Como são iguais, F é conservativo em R^2.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que nabla f=F. Integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral (y^2+3),dx=(y^2+3)x+g(y)
Derivando em y e igualando a Q:
partial fpartial y=2yx+g'(y)stackrel!=2xy-3y^2 ;Longrightarrow; g'(y)=-3y^2 ;Longrightarrow; g(y)=-y^3
Logo
f(x,y)=(y^2+3)x - y^3

Passo 4

Obtemos os pontos inicial e final da curva :

Passo 5

Pelo teorema fundamental das integrais de linha,
integralCFcdot d r=fl(r(1)r)-fl(r(0)r)
Calculamos
f(1,2)=(2^2+3)cdot1 - 2^3=7-8=-1, f(1,0)=(0^2+3)cdot1-0=3,
portanto
integralCFcdot d r = -1 - 3 = -4

Resposta

-4

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