Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x 1(an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é calcular um limite, especificamente quando x se aproxima de 1 para uma expressão polinomial que está nessa forma geral: an x^n + an-1 x^n-1 + cdots + a0 . A matéria que estamos usando aqui é de Cálculo de Limites em Polinômios. Para resolver isso, vamos usar o fato de que, em polinômios, os limites podem ser calculados substituindo diretamente o valor para o qual x está se aproximando, desde que não haja indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio. Um polinômio é uma soma de termos onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência de x . Por exemplo, an x^n é o termo de grau n , an-1 x^n-1 é o termo de grau n-1 , e assim por diante, até o termo constante a0 .

Passo 3

Agora, para calcular o limite de um polinômio quando x se aproxima de um valor específico (neste caso, 1), a gente pode simplesmente substituir esse valor no lugar de x . Isso funciona porque polinômios são funções contínuas, o que significa que não têm “buracos” ou “saltos” no seu gráfico.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso limite:
lim x 1(an x^n + an-1 x^n-1 + cdots + a0)
Substituindo x por 1 em cada termo, ficamos com:
an cdot 1^n + an-1 cdot 1^n-1 + cdots + a0
Como qualquer número elevado a uma potência é ele mesmo, 1^n = 1 para qualquer inteiro n .

Passo 5

Portanto, simplificando, temos:
an cdot 1 + an-1 cdot 1 + cdots + a0 = an + an-1 + cdots + a0
Isso significa que o limite do polinômio quando x se aproxima de 1 é simplesmente a soma de todos os coeficientes.

Resposta

lim x 1(an x^n + an-1 x^n-1 + cdots + a0) = an + an-1 + cdots + a0

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