1. (4 pontos) Determine, sem resolver o problema, o intervalo máximo no qual a solução do PVI certamente existe.
(x^2-4) y^prime+yx=x^2 ln x ; y(pi2)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
(x^2-4),y' + yx = x^2ln x, yl(pi2r)=1
O conteúdo aqui é o Teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem. Para aplicá-lo, precisamos escrever a equação na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
e analisar onde p(x) e q(x) são contínuas contendo x0=pi/2.

Passo 2

Dividindo por (x^2-4), obtemos a forma
y' + underbrace1x,(x^2-4)p(x),y = underbracex^2ln xx^2-4q(x)
As interrupções de continuidade de p(x) e q(x) ocorrem quando o denominador zera, isto é em
x=0, x=2, x=-2

Passo 3

O ponto inicial x0=pi/2 está entre 0 e 2. Portanto o maior intervalo em que p(x) e q(x) são contínuas contendo pi/2 é
(0,2)

Resposta

O intervalo máximo em que a solução do PVI certamente existe é (0,2).

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