Calcule a integral.
(1) integral sen^5(x) cos ^5(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sen^5(x),cos^5(x),dx
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno. Como ambas as potências são ímpares, podemos isolar um fator de cos x,dx (ou de sen x,dx) para usar substituição.

Passo 2

Reescrevemos a integranda extraindo um cos x,dx:
sen^5(x),cos^5(x) = sen^5(x),cos^4(x),cos(x) = sen^5(x),l(1-sen^2(x)r)^2,cos(x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sen(x), du = cos(x),dx
Assim a integral vira
integral sen^5(x),l(1-sen^2(x)r)^2,cos(x),dx = integral u^5,(1 - u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos e integramos termo a termo:
(1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
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u^5,(1 - u^2)^2 = u^5 - 2u^7 + u^9
Integrando,
integral l(u^5 - 2u^7 + u^9r),du = u^66 - 2,u^88 + u^1010 + C = u^66 - u^84 + u^1010 + C

Passo 5

Revertendo u = sen(x), obtemos a antiderivada:
sen^6(x)6 - sen^8(x)4 + sen^10(x)10 + C

Resposta

integral sen^5(x),cos^5(x),dx = sen^6(x)6 - sen^8(x)4 + sen^10(x)10 + C

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