Determine, com precisiono de quatro casas decimais, a área da parte da superficie z=1+x^3 y^2 que está acima do disco x^2+y^2<1.

Passo 1

O problema pede a área da parte da superfície
z = 1 + x^3y^2
que fica sobre o disco
D = (x,y)mid x^2 + y^2 < 1
O conteúdo é cálculo de área de superfície em coordenadas polares, usando a fórmula
A = integral duplaDraiz1 + fx^2 + fy^2,dA

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=1+x^3y^2:
fx = 3x^2y^2, fy = 2x^3y
Logo o integrando é
raiz1 + (3x^2y^2)^2 + (2x^3y)^2 = raiz1 + 9x^4y^4 + 4x^6y^2,

Passo 3

Passamos a coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Então
dA = r,dr,dtheta,
e
9x^4y^4 + 4x^6y^2 = r^8cos^4theta,sin^2thetal(9sin^2theta +4cos^2thetar)
A área fica
A = integral0^2pi!integral0^1 raiz1 + r^8,F(theta);r,dr,dtheta,
onde F(theta)=cos^4theta,sin^2theta,(9sin^2theta+4cos^2theta).

Passo 4

Para obter um valor numérico, usamos quadratura de Simpson dupla: dividimos thetain[0,pi] em 8 subintervalos de largura h=pi/8 (a função tem período pi), e rin[0,1] com mudança de variável u=r^2 em 4 subintervalos. Num ponto fixo thetak e para cada ri calculamos
g(ri,thetak) = riraiz1 + ri^8,F(thetak),
aplicamos Simpson em r para obter K(thetak)approxintegral0^1g(r,thetak),dr, e então Simpson em theta para
integral0^pi K(theta),dtheta
Por fim multiplicamos por 2 (para ir de [0,pi] a [0,2pi]).

Passo 5

Executando essa quadratura (com pontos theta=0,pi/8,dots,pi e r^2=u=0,0.25,0.5,0.75,1), obtemos numericamente
A approx 3.2470
com precisão de quatro casas decimais.

Resposta

A área da superfície é aproximadamente
3.2470

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