Determine, com precisiono de quatro casas decimais, a área da parte da superficie
que está acima do disco
.
Passo 1
O problema pede a área da parte da superfície
que fica sobre o disco
O conteúdo é cálculo de área de superfície em coordenadas polares, usando a fórmula
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
Logo o integrando é
Passo 3
Passamos a coordenadas polares
,
. Então
e
A área fica
onde
.
Passo 4
Para obter um valor numérico, usamos quadratura de Simpson dupla: dividimos
em 8 subintervalos de largura
(a função tem período
), e
com mudança de variável
em 4 subintervalos. Num ponto fixo
e para cada
calculamos
aplicamos Simpson em
para obter
, e então Simpson em
para
Por fim multiplicamos por 2 (para ir de
a
).
Passo 5
Executando essa quadratura (com pontos
e
), obtemos numericamente
com precisão de quatro casas decimais.
Resposta
A área da superfície é aproximadamente