Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
lim x +infty raizx(sen x+raizx cos x)x raizx-sen(x raizx)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando xto+infty de
raizxl(sen x + raizxcos xr)xraizx - senl(xraizxr)
O conteúdo é análise assintótica de limites no infinito: vamos comparar as ordens de grandeza de numerador e denominador para ver se o quociente tende a um valor finito.

Passo 2

Escrevendo as potências de x de forma explícita, o numerador é
raizx,sen x + x,cos x
que tem termos de ordem x^1/2 e x, e o denominador é
x^3/2 - senl(x^3/2r),
com termo principal x^3/2 e perturbação limitada por pm1.

Passo 3

Fatoramos a maior potência de x de cada um:
Numerador = xl(cos x + x^-1/2,sen xr), Denominador = x^3/2l(1 - tfracsen(x^3/2)x^3/2r)
Logo o quociente vira
xl(cos x + x^-1/2sen xr) x^3/2l(1 - sen(x^3/2)/x^3/2r) = x^-1/2,cos x + x^-1/2sen x 1 - sen(x^3/2)/x^3/2

Passo 4

À medida que xto+infty temos
x^-1/2to0, x^-1/2sen xto0, sen(x^3/2)x^3/2to0,
e cos x fica sempre entre -1 e 1. Portanto
o fator
l(cos x + x^-1/2sen xr)/(1-sen(x^3/2)/x^3/2)
permanece limitado, mas multiplicado por x^-1/2to0. Assim o limite do produto é zero.

Resposta

0

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