Determine a função y=y(x), x>0, tal que
d yd x=1x^2 e y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede encontrar a função ,y=y(x) definida para x>0 que satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
d yd x=1x^2
e a condição inicial ,y(1)=1. Vamos usar o fato de que integrar 1x^2 em relação a x nos dá uma primitiva com constante de integração.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x)=integral 1x^2,dx = integral x^-2,dx
Usando a regra de potência integral x^n,dx = x^n+1n+1+C (para nneq -1), com n=-2, obtemos
y(x)=x^-1-1+C = -1x+C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(1)=1 para determinar C:
y(1) = -11+C = -1 + C = 1 longrightarrow C = 2
Logo, a solução particular é
y(x) = -1x + 2

Resposta

y(x) = 2 - 1x, x>0

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