Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, cujo formato é
O conteúdo é método de solução de EDO linear: primeiro obtemos a solução geral da homogênea e depois encontramos uma solução particular para cada termo do lado direito.
Passo 2
Para a homogênea associada
escrevemos a equação característica
, cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Vamos buscar a parte particular como soma de duas: uma para a constante
e outra para
.
Para o termo constante
, supomos
onde
é constante. Substituindo em
obtemos
Passo 4
Para o termo
, propomos
Definindo
, temos
e usando a fórmula
segue que
deve ser igual a
. Assim exigimos
Passo 5
Desenvolvendo
agrupando termos em
,
e constantes, obtemos o sistema
Resolvendo:
Portanto
Passo 6
A solução particular completa é
Somando à solução homogênea, a solução geral fica: