Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+9 y v=t^wed>= 2 e^wed>= 3 t+6

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, cujo formato é
y'' + 9,y = t^2 e^3t + 6
O conteúdo é método de solução de EDO linear: primeiro obtemos a solução geral da homogênea e depois encontramos uma solução particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

Para a homogênea associada
y'' + 9y = 0
escrevemos a equação característica r^2 + 9 = 0, cujas raízes são
r = pm 3i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 cos(3t) + C2 sin(3t),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Vamos buscar a parte particular como soma de duas: uma para a constante 6 e outra para t^2 e^3t.
Para o termo constante 6, supomos
yp2(t) = D,
onde D é constante. Substituindo em y''+9y=6 obtemos
0 + 9D = 6 Longrightarrow D = 23

Passo 4

Para o termo t^2 e^3t, propomos
yp1(t) = e^3tl(A t^2 + B t + Cr)
Definindo u(t)=A t^2 + B t + C, temos
u' = 2A t + B, u'' = 2A,
e usando a fórmula
y'' = e^3tl(9u + 6u' + u''r),
segue que
yp1'' + 9yp1 = e^3tl(u'' + 6u' + 18ur)
deve ser igual a t^2 e^3t. Assim exigimos
u'' + 6u' + 18u = t^2

Passo 5

Desenvolvendo
2A + 6(2A t + B) + 18(A t^2 + B t + C) = t^2,
agrupando termos em t^2, t e constantes, obtemos o sistema
18A = 1, 12A + 18B = 0, 2A + 6B + 18C = 0
Resolvendo:
A = 118, B = -127, C = 1162
Portanto
yp1(t) = e^3tl(tfrac118t^2 - tfrac127t + tfrac1162r)

Passo 6

A solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = e^3tl(tfrac118t^2 - tfrac127t + tfrac1162r) + 23
Somando à solução homogênea, a solução geral fica:

Resposta

y(t) = C1 cos(3t) + C2 sin(3t) + e^3tl(tfrac118t^2 - tfrac127t + tfrac1162r) + 23

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