Calcule, se existirem, as seguintes integrais impróprias. Indique se converge ou diverge:
\int_{-\infty}^{2} \frac{2 d x}{x^{2}+4}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, a integral imprópria
\int_{-\infty}^{2} \frac{2\,dx}{x^{2}+4}
e indicar se ela converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • A integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.
  • O integrando é \frac{2}{x^{2}+4}. Note que x^{2}+4>0 para todo x, portanto não há singularidade finita (nenhum ponto em que o denominador zere).
  • Precisamos interpretar a integral como um limite e calcular esse limite para saber se o valor existe (converge) e qual é ele.

Passo 2

Definição (como vamos tratar a integral imprópria): interpretamos
\int_{-\infty}^{2} \frac{2\,dx}{x^{2}+4}
como o limite
I=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{2}\frac{2\,dx}{x^{2}+4}.
Ou seja, primeiro calculamos a integral definida de a até 2 com a finito, e depois fazemos a\to -\infty. Se esse limite existir finito, dizemos que a integral converge e esse é seu valor; se o limite não existir ou for infinito, dizemos que diverge.

Passo 3

Calcular uma antiderivada de \frac{2}{x^{2}+4}. Vou recordar e derivar a fórmula padrão usada aqui, passo a passo.
Fórmula útil: para constante A>0,
\int \frac{dx}{x^{2}+A^{2}}=\frac{1}{A}\arctan\!\left(\frac{x}{A}\right)+C.
Demonstração rápida por substituição: se fizermos x=A u então dx=A\,du e
\int \frac{dx}{x^{2}+A^{2}}=\int \frac{A\,du}{A^{2}u^{2}+A^{2}}=\int \frac{A\,du}{A^{2}(u^{2}+1)}=\frac{1}{A}\int\frac{du}{u^{2}+1}=\frac{1}{A}\arctan(u)+C,
e voltando u=\frac{x}{A} obtemos a fórmula.
No nosso caso A^{2}=4, portanto A=2. Começamos com
\int \frac{2\,dx}{x^{2}+4}=2\int \frac{dx}{x^{2}+2^{2}}.
Usando a fórmula com A=2 temos
\int \frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Multiplicando por 2 obtemos a antiderivada desejada:
\int \frac{2\,dx}{x^{2}+4}=\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Podemos conferir derivando: \dfrac{d}{dx}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1}{1+(x/2)^{2}}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{x^{2}+4}, ok.

Passo 4

Agora aplicamos a antiderivada na integral definida de a até 2 e depois tomamos o limite a\to -\infty:
\int_{a}^{2}\frac{2\,dx}{x^{2}+4}=\left.\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right|_{x=a}^{x=2} =\arctan\!\left(\frac{2}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{a}{2}\right).
Simplificando,
\int_{a}^{2}\frac{2\,dx}{x^{2}+4}=\arctan(1)-\arctan\!\left(\frac{a}{2}\right).
Sabemos que \arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Para a\to -\infty o argumento \frac{a}{2}\to -\infty e a função \arctan(t) tende a -\frac{\pi}{2} quando t\to -\infty. Portanto
I=\lim_{a\to -\infty}\left[\frac{\pi}{4}-\arctan\!\left(\frac{a}{2}\right)\right] =\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}.
Aqui usei a propriedade do arco-tangente: \displaystyle\lim_{t\to\pm\infty}\arctan(t)=\pm\frac{\pi}{2}, que é bem conhecida e pode ser vista pensando no gráfico da arctan ou lembrando que tangent aproxima-se de \pm\infty quando o ângulo aproxima-se de \pm\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Conclusão: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria converge. O valor calculado é \dfrac{3\pi}{4}. Boa notícia — apesar do intervalo infinito, o integrando decai suficientemente rápido (é do tipo 1/x^{2} para grandes |x|) para a integral permanecer finita.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{2}\frac{2\,dx}{x^{2}+4}=\frac{3\pi}{4}
Converge.

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