Ou seja, primeiro calculamos a integral definida de a até 2 com a finito, e depois fazemos a\to -\infty. Se esse limite existir finito, dizemos que a integral converge e esse é seu valor; se o limite não existir ou for infinito, dizemos que diverge.
Passo 3
Calcular uma antiderivada de \frac{2}{x^{2}+4}. Vou recordar e derivar a fórmula padrão usada aqui, passo a passo.
Sabemos que \arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Para a\to -\infty o argumento \frac{a}{2}\to -\infty e a função \arctan(t) tende a -\frac{\pi}{2} quando t\to -\infty. Portanto
Aqui usei a propriedade do arco-tangente: \displaystyle\lim_{t\to\pm\infty}\arctan(t)=\pm\frac{\pi}{2}, que é bem conhecida e pode ser vista pensando no gráfico da arctan ou lembrando que tangent aproxima-se de \pm\infty quando o ângulo aproxima-se de \pm\frac{\pi}{2}.
Passo 5
Conclusão: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria converge. O valor calculado é \dfrac{3\pi}{4}. Boa notícia — apesar do intervalo infinito, o integrando decai suficientemente rápido (é do tipo 1/x^{2} para grandes |x|) para a integral permanecer finita.