Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x -1 x^2-4x^2-3 x-4

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -1x^2-4x^2-3x-4.
Como é uma função racional, vamos analisar zeros do numerador e do denominador para ver se ocorre indeterminação ou assíntota vertical.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2 - 4 = (x-2)(x+2), x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)
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x^2-4x^2-3x-4 = (x-2)(x+2)(x-4)(x+1)

Passo 3

Ao aproximar xto -1, vemos que
,x+1to0 faz o denominador tender a zero, enquanto o numerador tende a
(-1-2)(-1+2)=(-3)cdot1=-3neq0
Isso indica uma assíntota vertical em x=-1 e, portanto, um limite infinito ou divergente.

Passo 4

Para saber se vai a +infty ou -infty, analisamos o sinal de cada fator perto de -1:
  • x-2 é negativo (cerca de -3),
  • x+2 é positivo (cerca de 1),
  • x-4 é negativo (cerca de -5),
  • x+1 muda de sinal: para xto -1^-, x+1<0; para xto -1^+, x+1>0.
Assim:
limxto -1^-(x-2)(x+2)(x-4)(x+1) =negativotimespositivonegativotimesnegativo =negativopositivo =-infty,
limxto -1^+(x-2)(x+2)(x-4)(x+1) =negativotimespositivonegativotimespositivo =negativonegativo =+infty

Resposta

O limite não existe (há assíntota vertical em x=-1, com
limxto -1^- = -infty e limxto -1^+ = +infty).

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