Pretende-se construir um galpão com volume de numa quadra de esportes. O preparo do chão retangular do galpão custa 100 \mathrm{m}^{2} çãé\mathrm{R} $300 \mathrm{m}^{2} é\mathrm{R} $ 400 \mathrm{m}^{2}$. Determine as dimensões (comprimento, largura e altura) do galpão mais barato que pode ser construído nessas condições.

Passo 1

O enunciado pede um galpão retangular com volume fixo de ,180,m^3 e custos diferentes por metro quadrado para piso, paredes e teto. O conteúdo é otimização de função sujeita a restrição de volume: vamos montar a função custo, usar a restrição ,xyz=180 para eliminar uma variável e depois achar o mínimo da função de duas variáveis via derivadas parciais.

Passo 2

Definimos:
  • x = comprimento do galpão (m),
  • y = largura do galpão (m),
  • z = altura do galpão (m).
    O volume é
xyz = 180
O custo total C (em reais) é a soma de:
1. piso: 100 por m^2 em área xy,
2. paredes: 300 por m^2 em áreas 2xz + 2yz,
3. teto: 400 por m^2 em área xy.
Logo
C = 100,xy + 300,(2xz + 2yz) + 400,xy = 500,xy + 600,z,(x+y)

Passo 3

Usamos z = 180/(xy) na expressão de C:
C(x,y) = 500,xy + 600cdot180xy,(x+y) = 500,xy + 108000,x+yxy

Passo 4

Para achar o mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero.
Derivada em relação a x:
partial Cpartial x = 500,y + 108000cdotpartialpartial xl(x+yxyr) = 500,y - 108000x^2 longrightarrow 500,y = 108000x^2 Longrightarrow y = 216x^2
Derivada em relação a y:
partial Cpartial y = 500,x - 108000y^2 longrightarrow 500,x = 108000y^2 Longrightarrow x = 216y^2

Passo 5

Multiplicando y = 216/x^2 por x = 216/y^2:
x,y = 216y^2,216x^2 = 46656x^2y^2 Longrightarrow (xy)^3 = 46656 Longrightarrow xy = raiz[,3]46656 = 36
Daí
z = 180xy = 18036 = 5

Passo 6

Como xy=36 e y=36/x, da equação y=216/x^2 vem
36x = 216x^2 Longrightarrow 36x = 216 Longrightarrow x = 6,
de onde y = 36/6 = 6.

Resposta

Comprimento x = 6,m, largura y = 6,m e altura z = 5,m.

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