Pretende-se construir um galpão com volume de
numa quadra de esportes. O preparo do chão retangular do galpão custa
100
\mathrm{m}^{2}
\mathrm{R} $300
\mathrm{m}^{2}
\mathrm{R} $ 400
\mathrm{m}^{2}$. Determine as dimensões (comprimento, largura e altura) do galpão mais barato que pode ser construído nessas condições.
Passo 1
O enunciado pede um galpão retangular com volume fixo de
e custos diferentes por metro quadrado para piso, paredes e teto. O conteúdo é otimização de função sujeita a restrição de volume: vamos montar a função custo, usar a restrição
para eliminar uma variável e depois achar o mínimo da função de duas variáveis via derivadas parciais.
Passo 2
Definimos:
-
comprimento do galpão (m), -
largura do galpão (m), -
altura do galpão (m).
O volume é
O custo total
(em reais) é a soma de:
. piso:
por
em área
,
. paredes:
por
em áreas
,
. teto:
por
em área
.
Logo
Logo
Passo 3
Usamos
na expressão de
:
Passo 4
Para achar o mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 5
Multiplicando
por
:
Daí
Passo 6
Como
e
, da equação
vem
de onde
.
Resposta
Comprimento
,m, largura
,m e altura
,m.