Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
lim x pi4 sen(x)-cos (x)1-tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
limx to pi4 sin(x) - cos(x)1 - tg(x)
Estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das funções trigonométricas e as regras de limite, como a regra de L’Hôpital, caso seja necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o comportamento das funções no ponto x = pi4 .
Sabemos que:
  • sin(pi4) = raiz22
  • cos(pi4) = raiz22
  • tg(pi4) = 1
Substituindo esses valores no numerador e denominador:
  • Numerador: raiz22 - raiz22 = 0
  • Denominador: 1 - 1 = 0
Então, temos uma forma indeterminada 00 .

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada 00 , podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
A regra de L’Hôpital diz que se:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então,
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Numerador: f(x) = sin(x) - cos(x)
    Derivada de sin(x) é cos(x)
    Derivada de -cos(x) é sin(x)
    Então, f'(x) = cos(x) + sin(x)
  • Denominador: g(x) = 1 - tg(x)
    Derivada de 1 é 0
    Derivada de -tg(x) é -sec^2(x)
    Então, g'(x) = -sec^2(x)

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx to pi4 cos(x) + sin(x)-sec^2(x)
Vamos simplificar isso. Sabemos que sec(x) = 1cos(x) , então sec^2(x) = 1cos^2(x) . Substituindo:
cos(x) + sin(x)-1cos^2(x) = -(cos(x) + sin(x)) cdot cos^2(x)

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão no ponto x = pi4 :
Sabemos que sin(pi4) = cos(pi4) = raiz22 , então:
-(raiz22 + raiz22) cdot (raiz22)^2
Primeiro, somamos os termos dentro do parênteses:
raiz22 + raiz22 = raiz2
Então, temos:
-raiz2 cdot (24) = -raiz2 cdot 12 = -raiz22

Resposta

O limite é igual a -raiz22 .

Exercícios relacionados