Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite:
Estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das funções trigonométricas e as regras de limite, como a regra de L’Hôpital, caso seja necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar o comportamento das funções no ponto
.
Sabemos que:
Substituindo esses valores no numerador e denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
A regra de L’Hôpital diz que se:
Então,
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Numerador:Derivada de
é Derivada deé Então, -
Denominador:Derivada de
é Derivada deé Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar isso. Sabemos que
, então
. Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão no ponto
:
Sabemos que
, então:
Primeiro, somamos os termos dentro do parênteses:
Então, temos:
Resposta
O limite é igual a
.