Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 para a expressão $ \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} $. Isso faz parte do conteúdo de limites matemáticos. Vamos precisar usar técnicas de racionalização para resolver esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 3 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos de outro método para calcular o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $, uma técnica útil é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador para eliminar a raiz quadrada.
A conjugada de $ \sqrt{x} - \sqrt{3} $ é $ \sqrt{x} + \sqrt{3} $. Então, vamos multiplicar a fração por $ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{3}} $:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador. Usamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Perceba que $ x - 3 $ aparece no numerador e no denominador, e como $ x $ está se aproximando de 3 (mas nunca exatamente 3), podemos cancelar esses termos:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por 3 na expressão simplificada:
Resposta
O limite é $ 2\sqrt{3} $.