Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
lim x 3 x-3raizx-raiz3

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 para a expressão $ \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} $. Isso faz parte do conteúdo de limites matemáticos. Vamos precisar usar técnicas de racionalização para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 3 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = 3
Isso dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos de outro método para calcular o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $, uma técnica útil é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador para eliminar a raiz quadrada.
A conjugada de $ \sqrt{x} - \sqrt{3} $ é $ \sqrt{x} + \sqrt{3} $. Então, vamos multiplicar a fração por $ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{3}} $:
00

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Usamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $:
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
Então, a expressão fica:
(raizx-raiz3)(raizx+raiz3) = (raizx)^2 - (raiz3)^2 = x - 3

Passo 5

Perceba que $ x - 3 $ aparece no numerador e no denominador, e como $ x $ está se aproximando de 3 (mas nunca exatamente 3), podemos cancelar esses termos:
x - 3

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por 3 na expressão simplificada:
x

Resposta

O limite é $ 2\sqrt{3} $.

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