Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas próximas de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
, que é uma expressão polinomial bem direta. O denominador é
. Sabemos que, para valores de
próximos de zero, podemos aproximar funções trigonométricas usando suas séries de Taylor.
Passo 3
Vamos lembrar que:
Essas aproximações são válidas para
próximo de zero.
Passo 4
Agora, substituímos essas aproximações no denominador:
Passo 5
Agora temos o limite simplificado:
Como
tende a zero,
também tende a zero.
Passo 6
Substituindo
:
Resposta
O limite é igual a 4.