Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
lim x 0 x^5+2 x^3tg(x)-sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular lim x 0 x^5+2 x^3tg(x)-sen(x). Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é x^5 + 2x^3, que é uma expressão polinomial bem direta. O denominador é tg(x) - sen(x). Sabemos que, para valores de x próximos de zero, podemos aproximar funções trigonométricas usando suas séries de Taylor.

Passo 3

Vamos lembrar que:
sen(x) approx x - x^36
tg(x) = sen(x)cos(x) approx x - x^361 - x^22 approx x + x^33
Essas aproximações são válidas para x próximo de zero.

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações no denominador:
tg(x) - sen(x) approx (x + x^33) - (x - x^36) = x^33 + x^36 = x^32

Passo 5

Agora temos o limite simplificado:
lim x 0 x^5 + 2x^3x^32 = lim x 0 x^5 + 2x^3x^3 times 2 = lim x 0 (x^2 + 2) times 2
Como x tende a zero, x^2 também tende a zero.

Passo 6

Substituindo x = 0:
(0 + 2) times 2 = 2 times 2 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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