Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
lim x 0 raiz1+sen(x)-raiz1-sen(x)x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite:
limx 0 raiz1 + sin(x) - raiz1 - sin(x)x
Aqui estamos trabalhando com limites, um conceito básico de cálculo que ajuda a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um certo valor. Vamos precisar usar algumas técnicas de algebra para simplificar essa expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o numerador que tem radicais. Uma boa estratégia é racionalizar o numerador, ou seja, eliminar as raízes quadradas. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x).
Então, a expressão fica:
raiz1 + sin(x) - raiz1 - sin(x)x times raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x)raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x)

Passo 3

Vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(raiz1 + sin(x) - raiz1 - sin(x))(raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x)) = (1 + sin(x)) - (1 - sin(x)) = 2 sin(x)
Denominador:
x (raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x))
Agora, a expressão simplificada fica:
2 sin(x)x (raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x))

Passo 4

Vamos separar os fatores para facilitar:
2 sin(x)x times 1raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x)
Sabemos que:
limx 0 sin(x)x = 1
E quando x se aproxima de 0, sin(x) também se aproxima de 0, então:
raiz1 + sin(x) approx raiz1 = 1 e raiz1 - sin(x) approx raiz1 = 1
Portanto, o denominador raiz1 + sin(x) + raiz1 - sin(x) approx 1 + 1 = 2.

Passo 5

Agora, substituindo esses valores no limite:
limx 0 2 sin(x)x times 12 = 2 times 1 times 12 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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