Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
lim x a x^3-a^3x^2-a^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto ax^3-a^3x^2-a^2
quando existir. Vamos usar conteúdo de fatoração de polinômios (diferença de cubos e diferença de quadrados) e, em seguida, simplificar para aplicar substituição direta.

Passo 2

Usamos as identidades de fatoração:
x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2),
x^2-a^2=(x-a)(x+a)

Passo 3

Para xneq a, podemos cancelar o fator comum (x-a) no numerador e no denominador, obtendo a função equivalente
x^3-a^3x^2-a^2 =(x-a)(x^2+ax+a^2)(x-a)(x+a) =x^2+ax+a^2x+a

Passo 4

A expressão x^2+ax+a^2x+a é contínua em x=a desde que a+aneq0, mas mesmo quando a=0 o resultado obtido por cancelamento é válido. Logo, podemos calcular o limite por substituição direta:
limxto ax^2+ax+a^2x+a =a^2+acdot a+a^2a+a

Passo 5

No numerador somam-se três parcelas iguais a a^2, e o denominador é 2a. Assim,
a^2+a^2+a^22a=3a^22a=3a2

Resposta

limxto ax^3-a^3x^2-a^2=3a2

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