Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral -2 x+4(x^2+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral -2x + 4(x^2+1),(x-1)^2,dx
usando frações parciais. O conteúdo principal aqui é decompor a função racional em termos simples cujas integrais conhecemos: termos do tipo 1x-1, 1(x-1)^2 e xx^2+1, 1x^2+1.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição seguindo o padrão para fator quadrático irreversível e fator linear repetido:
-2x+4(x-1)^2(x^2+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+Dx^2+1
Multiplicando em ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1), obtemos a identidade
-2x+4 = A,(x-1)(x^2+1) + B,(x^2+1) + (Cx+D),(x-1)^2

Passo 3

Agora expandimos o lado direito, comparamos coeficientes de potências de x e montamos o sistema:
Coeficiente de x^3:
A + C = 0
Coeficiente de x^2:
-,A + B -2C + D = 0
Coeficiente de x:
A + C - 2D = -2
Termo constante:
-,A + B + D = 4
Da primeira equação vem C=-A. Da equação de x tiramos
A + (-A) -2D = -2;Longrightarrow;-2D = -2;Longrightarrow;D=1
Substituindo em -A+B+D=4 -A+B+1=4 logo B=A+3. Por fim, de -A+B-2C+D=0 vem
-,A + (A+3) -2(-A) +1 =0 ;Longrightarrow;2A+4=0 ;Longrightarrow;A=-2
Assim
A=-2, B=1, C=-A=2, D=1

Passo 4

A decomposição fica
-2x+4(x-1)^2(x^2+1) = -2x-1 + 1(x-1)^2 + 2x+1x^2+1
Integramos termo a termo:
integral -2x-1,dx = -2lnlvert x-1rvert,
integral 1(x-1)^2,dx = -,1x-1,
integral 2xx^2+1,dx = ln(x^2+1),
integral 1x^2+1,dx = arctan x

Passo 5

Somando tudo e agrupando os logaritmos, a primitiva geral é
ln(x^2+1) - 2lnlvert x-1rvert ;-;1x-1 ;+;arctan x ;+; C

Resposta

integral -2x+4(x^2+1)(x-1)^2,dx = ln(x^2+1);-;2lnlvert x-1rvert;-;1x-1;+;arctan x;+;C

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