Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral 3 x^2+x+4x^3+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3x^2+x+4x^3+x,dx
usando frações parciais. Aqui o conteúdo é integração de função racional, que envolve decompor o integrando em frações mais simples e depois integrar cada parte.

Passo 2

Observamos que o denominador factoriza como
x^3+x = x,(x^2+1)
Logo procuramos escrever
3x^2+x+4x,(x^2+1) = Ax + Bx + Cx^2+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes em , e termo constante, obtemos o sistema
Daí e .

Passo 4

Substituindo na decomposição,
3x^2+x+4x^3+x = 4x + -x + 1x^2+1 = 4x - xx^2+1 + 1x^2+1

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral 4x,dx = 4lnl|xr|, integral xx^2+1,dx = 12lnl(x^2+1r), integral 1x^2+1,dx = arctan x
Juntando e lembrando do sinal,
integral 3x^2+x+4x^3+x,dx = 4lnl|xr| - 12lnl(x^2+1r) + arctan x + C

Resposta

integral 3x^2+x+4x^3+x,dx = 4lnl|xr| - tfrac12lnl(x^2+1r) + arctan x + C

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