Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{\sqrt[3]{x}-1}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{\sqrt[3]{x}-1}.
Isso é um caso de indeterminação 0/0. Vamos usar uma mudança de variável e fatoração de diferenças de potências para resolver.

Passo 2

Note que ao substituir x=1 tanto o numerador quanto o denominador viram zero. Definimos
t = \sqrt[3]{x},
logo x = t^{3} e, quando x\to1, temos t\to1. Assim
\frac{x^{3}-1}{\sqrt[3]{x}-1} = \frac{(t^{3})^{3}-1}{t-1} = \frac{t^{9}-1}{t-1}.

Passo 3

Fatoramos a diferença de potências:
t^{9}-1 = (t-1)\bigl(t^{8}+t^{7}+\cdots+t+1\bigr).
Logo
\frac{t^{9}-1}{t-1} = t^{8}+t^{7}+\cdots+t+1 = \sum_{k=0}^{8}t^{k}.

Passo 4

Agora basta avaliar em t=1:
\sum_{k=0}^{8}1^{k} = 1+1+\cdots+1 = 9.

Resposta

9

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