Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{3 x+|x|}{7 x-5|x|}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -1}\frac{3x+|x|}{7x-5|x|}.
O conteúdo aqui é cálculo de limites envolvendo valor absoluto. Para resolver, precisamos analisar o sinal de x perto de -1 e usar a definição por partes de |x|.

Passo 2

Como estamos nos aproximando de x=-1, temos x<0. Logo, por definição,
|x| = -x.

Passo 3

Substituindo |x|=-x em numerador e denominador, obtemos
\frac{3x+|x|}{7x-5|x|} = \frac{3x - x}{7x + 5x} = \frac{2x}{12x}.

Passo 4

Para x\neq0, simplificamos
\frac{2x}{12x} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.
Como essa expressão é constante (e bem definida) ao redor de x=-1, o limite vale \tfrac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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