Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim theta -infty 3 theta^2-2 theta+12 theta-1

Passo 1

Vamos lá! A gente vai calcular o limite quando tende a da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em funções racionais, onde analisamos o comportamento dos graus dos polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, observe os graus dos polinômios:
  • No numerador, , o termo de maior grau é (grau 2).
  • No denominador, , o termo de maior grau é (grau 1).

Passo 3

Quando o grau do polinômio no numerador é maior do que no denominador, o limite tende para mais ou menos infinito, dependendo dos coeficientes principais e do sinal de . Aqui, o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1).

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por 3theta^2 - 2theta + 12theta - 1 = theta(3theta - 2 + 1theta)theta(2 - 1theta) = 3theta - 2 + 1theta2 - 1theta , que é a maior potência do denominador:

Passo 5

Agora, analisando o comportamento quando 3theta - 22 , os termos tendem a zero. Então, a expressão fica:

Passo 6

Simplificando ainda mais, temos:
3theta2 - 22 = 3theta2 - 1

Passo 7

Agora, veja que está indo para . Multiplicando por , que é positivo, o termo também tende a . O não altera o comportamento do infinito.

Resposta

O limite é lim theta -infty 3 theta^2-2 theta+12 theta-1 = -infty .

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