Usando a definição de limite, demonstre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 12. Vamos usar a definição de limite para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a definição formal de limite.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão
. Observe que
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo
no numerador e denominador:
Isso é válido para todos os valores de
diferentes de 2, já que em
o denominador se torna zero.
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite diretamente substituindo
por 2: