Usando a definição de limite, demonstre que lim x 2 x^3-8x-2=12

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 12. Vamos usar a definição de limite para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a definição formal de limite.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Observe que x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
x^3-8x-2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2
Aqui, e , então:
Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2 = x^2 + 2x + 4 no numerador e denominador:
Isso é válido para todos os valores de diferentes de 2, já que em o denominador se torna zero.

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite diretamente substituindo limx to 2 (x^2 + 2x + 4) = (2)^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 por 2:

Resposta

12

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