Calcule, quando existirem, os seguintes limites: lim x 0[x cossec(x)]

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 0[x cossec(x)]. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver esse problema, vamos precisar lembrar que cossec(x) é a função cosseno-secante, que é equivalente a 1sin(x). Portanto, nosso objetivo é calcular limx to 0 xsin(x).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite usando a definição de cossec(x):
lim x 0 [x cossec(x)] = limx to 0 xsin(x)

Passo 3

Agora, lembramos de uma propriedade importante dos limites trigonométricos:
limx to 0 sin(x)x = 1
Isso significa que, para valores de x próximos a 0, sin(x) é aproximadamente igual a x.

Passo 4

Usando essa propriedade, podemos inverter a fração:
limx to 0 xsin(x) = ( limx to 0 sin(x)x )^-1 = 1^-1 = 1

Resposta

O limite lim x 0[x cossec(x)] é igual a 1.

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