em que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que isso já está na forma que facilita a aplicação do fator integrante, confirmando que está correto.
Passo 5
A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação multiplicada pelo fator integrante:
Integrando o lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos considerar a função
que é definida de forma fragmentada:
Vamos resolver a integral para cada intervalo.
Passo 7
Para
:
Então, a solução fica:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 9
Para
:
Agora,
, então:
A solução fica:
Dividindo por
:
Passo 10
Para encontrar a constante
, garantimos que a solução seja contínua em
. Calculamos
para
na primeira solução:
Igualamos à segunda solução em
:
Então, a solução para
é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: