(1+x^2) y' + 2 x y = f(x) ; y(0) = 0
em que
f(x) = { x, se 0 <= x < 1; -x, se x >= 1 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
(1+x^2) y' + 2 x y = f(x) ; y(0) = 0
O objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que isso já está na forma que facilita a aplicação do fator integrante, confirmando que está correto.

Passo 5

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação multiplicada pelo fator integrante:
Integrando o lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos considerar a função que é definida de forma fragmentada:
Vamos resolver a integral para cada intervalo.

Passo 7

Para :
Então, a solução fica:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 9

Para :
Agora, , então:
A solução fica:
Dividindo por :

Passo 10

Para encontrar a constante , garantimos que a solução seja contínua em . Calculamos para na primeira solução:
Igualamos à segunda solução em :
Então, a solução para é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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