Desenhe a imagem:
F(t) = (sen(t), sen(t), t), t ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos a imagem da função vetorial onde . Isso envolve o estudo de curvas no espaço tridimensional, usando trigonometria e parametrização. Para resolver, vamos analisar cada componente da função e como elas se relacionam para formar a imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada componente da função . Temos , e . Isso significa que, para cada valor de , tanto as coordenadas quanto são iguais a , enquanto cresce linearmente com .

Passo 3

Como e são iguais, isso implica que em cada ponto da curva, . Geometricamente, isso significa que a curva está sempre sobre o plano onde no espaço tridimensional. Vamos lembrar que o plano é um dos planos diagonais que cortam os eixos e igualmente.

Passo 4

Agora, vamos considerar a componente . À medida que aumenta, também aumenta linearmente. Isso faz com que a curva suba continuamente no eixo , enquanto oscila devido ao comportamento da função seno nas componentes e .

Passo 5

Vamos juntar essas informações. Como , para cada valor de , a posição no eixo é igual à do eixo , e o eixo aumenta linearmente. Isso cria uma curva que oscila no plano enquanto sobe no eixo , formando uma espécie de espiral ou onda ascendente.

Passo 6

Para desenhar a imagem, podemos esboçar o plano e representar a curva que oscila conforme para e , enquanto aumenta. A curva começará no ponto e, conforme aumenta, seguirá para cima, mantendo e sempre iguais e variando entre -1 e 1.

Resposta

A imagem da função para é uma curva que oscila no plano enquanto sobe linearmente no eixo , formando uma espiral vertical onde e são sempre iguais e variam conforme o seno de .

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