Mostre que as séries abaixo são divergentes.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a série
é divergente. Para isso, vamos usar um teste de divergência que envolve comparar termos da série com uma integral. Então, precisamos saber um pouco sobre séries infinitas e testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série divergente. Se a soma dos termos da série cresce sem limite quando n vai para o infinito, a série é divergente. Uma maneira de verificar isso é usar o Teste da Integral, que compara a série com uma integral imprópria.
Passo 3
O Teste da Integral diz que se temos uma função
positiva, contínua e decrescente, então a série
tem o mesmo comportamento que a integral
. Ou seja, se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui,
. Vamos calcular a integral:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 6
Agora, avaliaremos o limite quando
vai para o infinito:
Isso mostra que a integral diverge.
Passo 7
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
é divergente.