Mostre que as séries abaixo são divergentes.
(b) sumn=1^infty ln (n)n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a série é divergente. Para isso, vamos usar um teste de divergência que envolve comparar termos da série com uma integral. Então, precisamos saber um pouco sobre séries infinitas e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série divergente. Se a soma dos termos da série cresce sem limite quando n vai para o infinito, a série é divergente. Uma maneira de verificar isso é usar o Teste da Integral, que compara a série com uma integral imprópria.

Passo 3

O Teste da Integral diz que se temos uma função positiva, contínua e decrescente, então a série tem o mesmo comportamento que a integral . Ou seja, se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, integral1^infty ln(x)x , dx . Vamos calcular a integral:

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja integral u , du = u^22 + C = (ln(x))^22 + C , então . A integral fica:

Passo 6

Agora, avaliaremos o limite quando limx to infty (ln(x))^22 = infty vai para o infinito:
Isso mostra que a integral diverge.

Passo 7

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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