Teste a série quanto a convergência ou divergência
© sumn=1^infty(-1)^n n10^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é a série infinita . Vou explicar que tipo de série é essa, qual matéria estamos usando (testes de convergência de séries) e o que precisamos para descobrir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série: . Ela é uma série alternada porque tem o termo , que faz os termos mudarem de sinal a cada passo.

Passo 3

Para testar a convergência de séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos diminuem de tamanho conforme aumenta.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

No nosso caso, . Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento dos termos: é , que na verdade aumenta conforme aumenta. Portanto, os termos não estão diminuindo.
  2. Limite dos termos: .

Passo 5

Como a segunda condição do Teste da Séries Alternadas não é satisfeita (o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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