Teste a série quanto a convergência ou divergência
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é a série infinita
. Vou explicar que tipo de série é essa, qual matéria estamos usando (testes de convergência de séries) e o que precisamos para descobrir se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série:
. Ela é uma série alternada porque tem o termo
, que faz os termos mudarem de sinal a cada passo.
Passo 3
Para testar a convergência de séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
diminuem de tamanho conforme aumenta. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar as condições:
- Decrescimento dos termos:
é , que na verdade aumenta conforme aumenta. Portanto, os termos não estão diminuindo. - Limite dos termos:
.
Passo 5
Como a segunda condição do Teste da Séries Alternadas não é satisfeita (o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.