Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: Dica: integral sec (x) d x=ln (sec (x)+tan (x))+C.
y^prime=xy^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de variáveis separáveis
y'=xy^2,
isto é,
dydx=xy^2
Para resolver precisamos separar as variáveis y e x e então integrar em cada lado.

Passo 2

Reescrevemos colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dydx = x,y^-2 Longrightarrow y^2,dy = x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^2,dy = integral x,dx

Passo 4

Calculando as integrais, obtemos
y^33 = x^22 + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por 3 e renomeando a constante,
y^3 = 32,x^2 + C1
Tomando a raiz cúbica, chegamos à solução geral.

Resposta

y(x) = raiz[3]32,x^2 + C1,
onde C1 é constante arbitrária.

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