Calcule as integrais utilizando integrais por partes:
integral e^-x cdot cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^-xcos 2x,dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar duas vezes a fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
e depois resolver para a integral desejada.

Passo 2

Defina
I = integral e^-xcos 2x,dx
Escolhemos em uma primeira integração por partes
u = cos 2x, dv = e^-xdx,
logo
du = -2sin 2x,dx, v = -e^-x
Assim
I = uv - integral v,du = -e^-xcos 2x - integral(-e^-x)(-2sin 2x),dx = -e^-xcos 2x - 2integral e^-xsin 2x,dx
Defina
J = integral e^-xsin 2x,dx

Passo 3

Para obter J usamos integração por partes novamente com
u = sin 2x, dv = e^-xdx
de onde
du = 2cos 2x,dx, v = -e^-x
Logo
J = uv - integral v,du = -e^-xsin 2x - integral(-e^-x)(2cos 2x),dx = -e^-xsin 2x + 2integral e^-xcos 2x,dx
Isto é,
J = -e^-xsin 2x + 2I

Passo 4

Volte à relação de I:
I = -e^-xcos 2x - 2J = -e^-xcos 2x - 2l(-e^-xsin 2x + 2Ir)
Distribuindo e agrupando os termos em I,
I = -e^-xcos 2x + 2e^-xsin 2x - 4I Longrightarrow 5I = -e^-xcos 2x + 2e^-xsin 2x
Portanto
I = e^-x5,(2sin 2x - cos 2x) + C

Resposta

integral e^-xcos 2x,dx = e^-x5l(2sin 2x - cos 2xr) + C

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