Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 2 4x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 2 para a expressão . Esse problema está no conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como investigar o comportamento da função perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente o valor 42^2 - 4 = 44 - 4 = 40 na expressão para ver o que acontece:
Aqui, percebemos que estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso nos indica que precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2, tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 3

Vamos investigar o limite pela direita, ou seja, quando x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) se aproxima de 2 por valores maiores que 2 ( ):
Para ligeiramente maior que 2, é positivo e muito pequeno, então é positivo e próximo de zero. Assim, a fração tende a .

Passo 4

Agora, vamos ver o limite pela esquerda, ou seja, quando x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) se aproxima de 2 por valores menores que 2 ( ):
Para ligeiramente menor que 2, é negativo e muito pequeno, então é negativo e próximo de zero. Assim, a fração tende a .

Passo 5

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( e ), concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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