Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
lim x +infty cos ^2(2 x)3-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para calcular:
lim x +infty cos ^2(2 x)3-2 x
Nesse caso, vamos precisar entender sobre limites no infinito e como o Teorema do Confronto nos ajuda a encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) serve para encontrar o limite de uma função que está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Sabemos que o cosseno ao quadrado sempre está entre 0 e 1, ou seja:
0 <= cos^2(2x) <= 1

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os membros da desigualdade pelo denominador 13 - 2x <= cos^2(2x)3 - 2x <= 03 - 2x . Mas atenção! Como 13 - 2x <= cos^2(2x)3 - 2x <= 0 , o denominador vira um número muito grande negativo. Quando dividimos por um número negativo, a desigualdade inverte:
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos analisar o limite das funções das extremidades quando 0 <= limx +infty cos^2(2x)3 - 2x <= 0 :
  • (porque o denominador cresce em módulo, então a fração tende a 0)
  • (claro!)
Então, temos:

Resposta

Pelo Teorema do Confronto, o limite é:
0

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