Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para calcular:
Nesse caso, vamos precisar entender sobre limites no infinito e como o Teorema do Confronto nos ajuda a encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) serve para encontrar o limite de uma função que está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Sabemos que o cosseno ao quadrado sempre está entre 0 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos dividir todos os membros da desigualdade pelo denominador
. Mas atenção! Como
, o denominador
vira um número muito grande negativo. Quando dividimos por um número negativo, a desigualdade inverte:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos analisar o limite das funções das extremidades quando
:
-
(porque o denominador cresce em módulo, então a fração tende a 0) -
(claro!)
Então, temos:
Resposta
Pelo Teorema do Confronto, o limite é: