Calcule, quando existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com formas indeterminadas do tipo
. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para calcular limites que inicialmente parecem impossíveis de resolver diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente estamos diante de uma forma indeterminada
. Substituindo
na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, temos
, confirmando que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Vamos então derivar o numerador e o denominador.
Passo 4
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Então, o limite fica:
Passo 5
Vamos verificar novamente se ainda temos uma forma indeterminada ao substituir
:
No numerador:
No denominador:
Ainda estamos com
, então precisamos aplicar novamente a Regra de L’Hôpital.
Passo 6
Derivando novamente o numerador
:
Derivando novamente o denominador
:
Agora, o limite é:
Passo 7
Vamos verificar novamente a forma do limite substituindo
:
No numerador:
No denominador:
Ainda
. Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 8
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 9
Substituindo
para verificar a forma:
No numerador:
No denominador:
Agora, não temos mais uma forma indeterminada. Podemos calcular o limite diretamente:
Resposta
O limite é igual a 4.