Calcule, quando existirem, os seguintes limites: lim x 0 x^5+2 x^3tg(x)-sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando lim x 0 x^5 + 2x^3tan(x) - sin(x) se aproxima de 0 da expressão:
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com formas indeterminadas do tipo . Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para calcular limites que inicialmente parecem impossíveis de resolver diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente estamos diante de uma forma indeterminada 0^5 + 2 cdot 0^3 = 0 + 0 = 0 . Substituindo tan(0) - sin(0) = 0 - 0 = 0 na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, temos , confirmando que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Vamos então derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador f'(x) = 5x^4 + 6x^2 :
g'(x) = sec^2(x) - cos(x)
Derivando o denominador lim x 0 5x^4 + 6x^2sec^2(x) - cos(x) :
Então, o limite fica:

Passo 5

Vamos verificar novamente se ainda temos uma forma indeterminada ao substituir 5 cdot 0^4 + 6 cdot 0^2 = 0 + 0 = 0 :
No numerador:
sec^2(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0
No denominador:
Ainda estamos com , então precisamos aplicar novamente a Regra de L’Hôpital.

Passo 6

Derivando novamente o numerador f''(x) = 20x^3 + 12x :
g''(x) = 2sec^2(x)tan(x) + sin(x)
Derivando novamente o denominador lim x 0 20x^3 + 12x2sec^2(x)tan(x) + sin(x) :
Agora, o limite é:

Passo 7

Vamos verificar novamente a forma do limite substituindo 20 cdot 0^3 + 12 cdot 0 = 0 + 0 = 0 :
No numerador:
2 cdot 1 cdot 0 + 0 = 0 + 0 = 0
No denominador:
Ainda . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 8

Derivando o numerador f'''(x) = 60x^2 + 12 :
g'''(x) = 2[2sec^2(x)tan^2(x) + sec^4(x)] + cos(x)
Derivando o denominador lim x 0 60x^2 + 124sec^2(x)tan^2(x) + 2sec^4(x) + cos(x) :
Agora, o limite fica:

Passo 9

Substituindo 60 cdot 0^2 + 12 = 0 + 12 = 12 para verificar a forma:
No numerador:
4 cdot 1 cdot 0^2 + 2 cdot 1 + 1 = 0 + 2 + 1 = 3
No denominador:
123 = 4
Agora, não temos mais uma forma indeterminada. Podemos calcular o limite diretamente:

Resposta

O limite é igual a 4.

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