Desenhe a imagem:
F(t) = (t, cos(t), sen(t)), t ≥ 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Nós temos uma função vetorial para . O objetivo é desenhar a imagem dessa função, ou seja, traçar o caminho que os pontos seguem conforme varia a partir de 0.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções vetoriais e gráficos no espaço tridimensional. Vamos analisar cada componente da função e como elas interagem para formar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos observar cada componente da função :
  • : Isso significa que, à medida que aumenta, a coordenada aumenta linearmente.
  • : Essa é a função cosseno, que oscila entre -1 e 1 periodicamente.
  • : Similarmente, essa é a função seno, também oscilando entre -1 e 1 de forma periódica.
Então, conforme aumenta, o ponto se move para a direita no eixo , enquanto oscila para cima e para baixo nos eixos e .

Passo 3

Vamos pensar no que isso significa no espaço tridimensional. A componente faz com que a curva se mova indefinidamente para a direita conforme aumenta. Já as componentes e fazem com que o ponto oscile em um círculo no plano .
Na verdade, podemos notar que , o que significa que para cada , o ponto está sobre a circunferência de raio 1 no plano .

Passo 4

Combinando essas observações, a curva descreve uma hélice circular ao longo do eixo . À medida que aumenta, o ponto gira em torno do eixo seguindo a circunferência no plano , enquanto avança linearmente no eixo .
Isso é uma característica típica de uma hélice, que é uma curva que combina movimento circular com movimento linear em uma direção perpendicular.

Resposta

A imagem da função para é uma hélice circular que avança ao longo do eixo , girando em torno do eixo com raio 1 à medida que aumenta.

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