Encontre a solução geral da equação diferencial
t dy/dt + 2y = t^2
e faça um esboço do gráfico de algumas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício está no conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente daquelas que são lineares. Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares e encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos componentes padrão de uma equação diferencial linear. Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Agora, temos a equação na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Este lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária. Para esboçar o gráfico de algumas soluções, você pode escolher valores diferentes para e plotar as funções resultantes, observando como a constante influencia a forma da curva.

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