Encontre a solução geral da equação diferencial
e faça um esboço do gráfico de algumas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício está no conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente daquelas que são lineares. Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares e encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos componentes padrão de uma equação diferencial linear. Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Agora, temos a equação na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Este lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária. Para esboçar o gráfico de algumas soluções, você pode escolher valores diferentes para
e plotar as funções resultantes, observando como a constante influencia a forma da curva.