Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0x-sin xx^3.
Estamos diante de uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolvê-la de forma simples, vamos usar a expansão em série de Taylor de sin x em torno de 0.

Passo 2

Ao substituir xto0 temos
x-sin xto0,, x^3to0
portanto é mesmo uma forma 0/0. A série de Taylor de sin x nos dá a informação precisa do comportamento quando x é pequeno.

Passo 3

A expansão de Taylor de sin x até a ordem x^3 é
sin x = x - x^36 + o(x^3)

Passo 4

Substituindo na diferença do numerador:
x - sin x = x - l(x - x^36 + o(x^3)r) = x^36 + o(x^3)
Logo,
x-sin xx^3 = x^36 + o(x^3)x^3 = 16 + o(1)
Quando xto0, o termo o(1) some, ficando

Resposta

limxto0x-sin xx^3 = 16

Exercícios relacionados