Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 3 sin (x^2-5 x+6)x-3

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto3 sin(x^2-5x+6)x-3. Isso envolve limites de funções trigonométricas e uma indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar a fatoração do polinômio, a técnica de mudança de variável e a famosa aproximação limuto0sin uu=1.

Passo 2

Avaliando numerador e denominador diretamente em x=3:
sin(3^2-5cdot3+6)=sin(0)=0 e 3-3=0.
Logo temos a forma tfrac00, que é indeterminada.

Passo 3

Fatoramos o argumento do seno:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
então
sin(x^2-5x+6)x-3 =sinl((x-2)(x-3)r)x-3

Passo 4

Definindo u=(x-2)(x-3), reescrevemos
sin(u)x-3 =sin(u)u,ux-3 =sin(u)u,(x-2)
Quando xto3, uto0, logo sin(u)uto1 e (x-2)to1.
Assim, o limite vale 1cdot1=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados