Calcule, quando existirem, os seguintes limites: lim y x0[sen(x0 y)+cos (y^2-x0)]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o limite quando lim y x0[sin(x0 y)+cos (y^2-x0)] se aproxima de da função:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (seno e cosseno) e operações com variáveis. Para resolver esse limite, vamos usar o fato de que funções contínuas têm limites iguais aos seus valores naquelas pontas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte do seno:
lim y x0 sin(x0 y)
Como o seno é uma função contínua, podemos simplesmente substituir sin(x0 cdot x0) = sin(x0^2) por :

Passo 3

Agora, vamos para a parte do cosseno:
lim y x0 cos(y^2 - x0)
O cosseno também é uma função contínua, então substituímos cos(x0^2 - x0) por cos(x0(x0 - 1)) :
Podemos fatorar na expressão dentro do cosseno:

Passo 4

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
lim y x0[sin(x0 y)+cos (y^2-x0)] = sin(x0^2) + cos(x0(x0 - 1))

Resposta

Portanto, o limite solicitado é:
sin(x0^2) + cos(x0(x0 - 1))

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