Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
.
determine o que se pede em cada item:
Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo
e pediu para encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções
e
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente lidando com equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos usar a série de potências, que nos ajuda a encontrar soluções aproximadas quando a equação é complicada demais para métodos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Essa é a nossa série de Taylor, onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
para substituir na equação original. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial
, temos:
Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem no mesmo expoente de
. Reescrevendo o primeiro somatório:
E o segundo somatório:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos determinar os coeficientes iniciais. Como a equação é de segunda ordem, precisamos de duas condições iniciais. Vamos considerar
e
como nossos “termos livres”.
Primeiro, para
:
Como
não existe, consideramos
.
Para
:
Também,
não existe, então
.
Agora, para
:
Para
:
Passo 7
Vamos construir as duas soluções.
Primeira solução (
):
Vamos escolher e
.
Vamos escolher
Então, os quatro primeiros termos são:
Segunda solução (
):
Vamos escolher e
.
Vamos escolher
Então, os quatro primeiros termos são:
Resposta
As quatro primeiras termos das soluções são: