Dadas as seguintes equações diferenciais
y'' + x^2 y = 0
determine o que se pede em cada item:
Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo e pediu para encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções e . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente lidando com equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos usar a série de potências, que nos ajuda a encontrar soluções aproximadas quando a equação é complicada demais para métodos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Essa é a nossa série de Taylor, onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de para substituir na equação original. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial , temos:
Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem no mesmo expoente de . Reescrevendo o primeiro somatório:
E o segundo somatório:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos determinar os coeficientes iniciais. Como a equação é de segunda ordem, precisamos de duas condições iniciais. Vamos considerar e como nossos “termos livres”.
Primeiro, para :
Como não existe, consideramos .
Para :
Também, não existe, então .
Agora, para :
Para :

Passo 7

Vamos construir as duas soluções.
Primeira solução ( ):
Vamos escolher e .
Então, os quatro primeiros termos são:
Segunda solução ( ):
Vamos escolher e .
Então, os quatro primeiros termos são:

Resposta

As quatro primeiras termos das soluções são:

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