Desenhe a imagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar a imagem da função vetorial
para
. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como cada componente da função
se comporta para desenhar a curva corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar a função
nos seus componentes individuais:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto no espaço com coordenadas
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada componente:
- Componente
: À medida que aumenta, aumenta linearmente. - Componente
: Igual a , então também aumenta linearmente com . - Componente
: Aqui, oscila entre 0 e 2 porque o seno varia entre -1 e 1, e estamos somando 1.
Passo 4
Como
e
aumentam igualmente, isso significa que a projeção da curva no plano
é uma linha reta na direção onde
. Agora, combinando isso com o comportamento de
, percebemos que a curva oscila para cima e para baixo enquanto se move na linha
.
Passo 5
Para desenhar a imagem da curva:
- Plano
: Trace uma linha reta onde . - Componente
: Em cada ponto dessa linha, a altura varia de 0 a 2, seguindo a função . - Curva no Espaço 3D: Imagine uma linha reta que vai para frente no espaço, mas que sobe e desce periodicamente, formando um padrão ondulado ao longo da linha
.
Resposta
A imagem da função
para
é uma curva tridimensional que se desloca ao longo da linha reta onde
no plano
, enquanto oscila verticalmente entre
e
. Essa curva tem um movimento ondulante ascendente e descente conforme
aumenta, criando um padrão semelhante a uma serpentina ao longo da linha
.