Desenhe a imagem:
F(t) = (t, t, 1 + sen(t)), t ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar a imagem da função vetorial para . Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como cada componente da função se comporta para desenhar a curva corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a função nos seus componentes individuais:
Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto no espaço com coordenadas .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de cada componente:
  • Componente : À medida que aumenta, aumenta linearmente.
  • Componente : Igual a , então também aumenta linearmente com .
  • Componente : Aqui, oscila entre 0 e 2 porque o seno varia entre -1 e 1, e estamos somando 1.

Passo 4

Como e aumentam igualmente, isso significa que a projeção da curva no plano é uma linha reta na direção onde . Agora, combinando isso com o comportamento de , percebemos que a curva oscila para cima e para baixo enquanto se move na linha .

Passo 5

Para desenhar a imagem da curva:
  1. Plano : Trace uma linha reta onde .
  2. Componente : Em cada ponto dessa linha, a altura varia de 0 a 2, seguindo a função .
  3. Curva no Espaço 3D: Imagine uma linha reta que vai para frente no espaço, mas que sobe e desce periodicamente, formando um padrão ondulado ao longo da linha .

Resposta

A imagem da função para é uma curva tridimensional que se desloca ao longo da linha reta onde no plano , enquanto oscila verticalmente entre e . Essa curva tem um movimento ondulante ascendente e descente conforme aumenta, criando um padrão semelhante a uma serpentina ao longo da linha .

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