Calcule explicitamente a derivada da função G(s)=s(s^2+1). Em seguida, usando o item (a) e a igualdade
L^-1(1(s^2+1)^2)=12[sen(t)-t cos (t)]
determine a transformada inversa L^-1(2 s^2(s^2+1)^2).

Passo 1

O enunciado pede, primeiro, para calcular a derivada de
G(s)=ss^2+1,
que é a transformada de cos(t). Em seguida, usando a propriedade
L,t f(t)(s) = -F'(s)
e o resultado dado
L^-1l(1(s^2+1)^2r) =12l[sin(t)-tcos(t)r],
vamos encontrar
L^-1l(2s^2(s^2+1)^2r)

Passo 2

Calculemos
G'(s)=ddsl(ss^2+1r) =(s^2+1)cdot1 - scdot2s(s^2+1)^2 =s^2+1-2s^2(s^2+1)^2 =1-s^2(s^2+1)^2

Passo 3

Observamos que Lcos(t)(s)=G(s). Logo pela propriedade da derivada,
L,tcos(t)(s)=-G'(s)

Passo 4

Reescrevemos
2s^2(s^2+1)^2 =2s^2-2+2(s^2+1)^2 =underbrace2s^2-2(s^2+1)^2-2G'(s) ;+;underbrace2(s^2+1)^22cdot1(s^2+1)^2
Portanto
2s^2(s^2+1)^2 =-2G'(s)+2cdot1(s^2+1)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
  • Para -2G'(s), como -G'(s)=Ltcos(t), temos
L^-1l[-2G'(s)r] =2,tcos(t)
  • Para 2cdot1(s^2+1)^2, pelo dado,
L^-1l(1(s^2+1)^2r) =tfrac12[sin(t)-tcos(t)],
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L^-1l(2cdot1(s^2+1)^2r) =2cdottfrac12l[sin(t)-tcos(t)r] =sin(t)-tcos(t)

Passo 6

Somando os resultados:
L^-1l(2s^2(s^2+1)^2r) =2,tcos(t)+l[sin(t)-tcos(t)r] =sin(t)+tcos(t)

Resposta

L^-1l(2s^2(s^2+1)^2r) =sin(t)+tcos(t)

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