Determine a fórmula polar do número complexo u=3(raiz22-i raiz22).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o número complexo u = 3(raiz22 - i raiz22) e precisamos determinar a sua forma polar. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos na forma polar, que envolvem calcular o módulo e o argumento desse número.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo para facilitar os cálculos. Podemos distribuir o 3 dentro dos parênteses:
u = 3 cdot raiz22 - 3i cdot raiz22 = 3raiz22 - i 3raiz22
Agora, temos u = a + ib onde:
a = 3raiz22 e b = -3raiz22

Passo 3

O próximo passo é calcular o módulo r do número complexo, que representa a distância do ponto ao origem no plano complexo. A fórmula para o módulo é:
r = raiza^2 + b^2
Substituindo os valores de a e b :
r = raiz(3raiz22)^2 + (-3raiz22)^2 = raiz9 cdot 24 + 9 cdot 24 = raiz184 + 184 = raiz364 = raiz9 = 3
Então, o módulo r = 3 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta , que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real positivo no plano complexo. A fórmula para o argumento é:
theta = arctan(ba)
Substituindo os valores de a e b :
theta = arctan(-3raiz223raiz22) = arctan(-1) = -pi4 radianos ou -45^circ
Como o ângulo negativo indica que a direção está no sentido horário a partir do eixo real, podemos também expressar o ângulo como 315^circ , que é equivalente a -45^circ no círculo trigonométrico.

Passo 5

Finalmente, juntamos o módulo e o argumento para expressar o número complexo na forma polar. A forma polar é dada por:
u = r ( cos theta + i sin theta )
Substituindo r = 3 e theta = -pi4 :
u = 3 ( cos(-pi4) + i sin(-pi4) )

Resposta

A forma polar do número complexo é:
u = 3 ( cos(-pi4) + i sin(-pi4) )

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